実数は自然数よりも「濃ゆい」 その2
自然数と実数の濃度
さて「その1」の続きで、「実数全体の集合と、自然数全体の集合では、どちらが大きいか」を検討してみましょう。
結論から言うと、タイトルの通りです。「実数のほうが濃度が大きい」のです。「いやいや、自然数も実数も無限なのだから、自然数と偶数の時と同じように、いくらでも対応させることが出来るのでは？」とお思いかもしれませんが、それが出来ないのです。何故そういえるのでしょうか？
では、上の命題を、背理法で証明してみましょう。「自然数と実数の濃度が等しい」と仮定して、矛盾が生じれば、「濃度は等しくない」ことがわかります。
「自然数と実数の濃度が等しい」と仮定したので、自然数と偶数の時のように、「自然数と実数のペアが作れて、もれなく、一対一に対応する」はずです。以下の表のように、てけとーに当てはめていきます。
| 自然数 | 実数 |
|---|---|
| 1 | 3.54824… |
| 2 | 0.70637… |
| 3 | 8.33465… |
| 4 | 2.18019… |
| 5 | 1.34273… |
| 自然数 | 実数 |
|---|---|
| 1 | 3.54824… |
| 2 | 0.70637… |
| 3 | 8.33465… |
| 4 | 2.18019… |
| 5 | 1.34273… |
X=4.23578…
とでもしてみましょう。すると、このXは、自然数1とペアになっている実数とは小数第1位が異なっていますし、自然数2とペアになっている実数とは小数第2位が異なっています。同様にして、Xの小数第n位は、表の上からn番目の実数とは異なるので、Xは表に載っているどのような実数とも異なる数です。つまり、Xは表からもれた実数です。よって「自然数と実数のペアが作れて、もれなく、一対一に対応する」という仮定と矛盾します。
したがって、自然数全体の濃度よりも、実数全体の濃度のほうが大きいことが証明されました。このような集合を、数え上げができない、という意味で「非可算無限集合」といいます。
ちなみに、上のように、実数の「対角線」上の桁をちょっとずつ変えることによって、非可算な集合の存在を証明する手法を「対角線論法」といいます。カントールさんが考えたそうです。
結論
- 無限にも、いろんな無限がある。
- こんな証明方法を考えつくカントールはスゴい。
この2点の感動を伝えたくて記事を書きました。特に「その2」は多少ゴチャついた感がありますが、少しでも伝わったでしょうか。
*1:つまり、上からn番目の
